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分片實驗與有限元法

 田中旭 

注意:本論文已在《應用力學學報雜志(2000,17(2):24-30)發表
使用者請注明論文出處

(大連理工大學工程力學系,116024 

摘要:本文提出分片試驗在有限元法中有著重要的作用,它是近代有限元發展的一個主要特色。得出分片試驗對位移函數和應變函數的要求,這些要求便是一個好的有限元法所應保證的;分析了幾何方程弱形式與分片試驗的關系,借此分析了雜交元、擬協調元如何滿足這些要求,以及在滿足這些要求的同時產生的對其他條件的影響;分析了精化直接剛度法、廣義協調元和雙參數法如何保證分片試驗的滿足;最后作為位移條件的應用例子,改進了BCIZ元。
關鍵詞:
分片試驗,弱形式,網線函數,有限元法 

1 引言

連續問題極大地推動了有限元的發展,目前,成熟的構造單元的方法有傳統的位移法有限元[1]、應力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協調元[2][3]、廣義協調元[6]、雙參數法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在數學上已有證明,但這些方法的更為完善的證明仍是一個課題,而且其數學證明還很難被研究力學的人們所理解。人們仍比較普遍以事后的分片試驗來驗證單元的收斂性。盡管當前仍有對分片試驗的討論,但以往的大量實踐說明:通過分片試驗的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗是絕大多數有限元分析方法的共同點,近期有限元的發展可以說是以分片試驗為一個主要內涵的發展。

    眾所周知,分片試驗是與單元間的位移協調性密切相關的。人們在進行有限元分析時,不可避免的涉及了單元間的協調關系,這種協調關系與兩個單元有關,文[4][5]采用了單元邊界上的公共的位移插值函數,文[9]把這種位移插值函數成為“網線函數”。正式這種所謂的“網線函數”的采用,單元間的協調問題可以在單元內獨立考慮。目前成功解決 連續問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網線函數。本文通過網線函數給出了分片試驗對應變和位移的要求。

目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理,從而得到單元的應變(或應力)的,由結點位移為參數表達的表達式,再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應變(或應力)的做法上不同,好的有限元法得到的應變表達式已滿足了通過分片實驗所應滿足的條件。

2 分片檢驗的要求

    因有限元法最終列出的是勢能的方程,因此分片試驗可以看作:在常應變情況下,位移的不協調部分對勢能無貢獻,在薄板彎曲問題中,可如下表達:

             (1)

其中,A:單元域, 為位移的不協調部分,有:

                                     (2)

為位移, 為位移的協調部分。

    方程(1)可以理解為:在常內力情況下,不協調位移對應變能無貢獻。把(2)式代入方程(1)

 (3)

(3)式中的 項應用格林公式,并應用坐標變換公式:

                        (4)

其中 分別為位移協調部分在單元邊界的法向和切向的導數,即為文中的網線函數, 為單元邊界外法線的方向余弦。對含 的項再分步積分得:

>r        (5)

r表示單元的邊數, 表示結點的位移參數。對(3)中的含 項也進行分步積分并整理有:

                 (6)

同樣,對 項再分步積分得:

                      (7)

aibici為由各邊的nxny組成的參數, 表示位移函數在結點處的值。

  (4)(5)(6)(7)便是通過分片檢驗所需滿足的方程。

  (4)(5)是從應變的角度反映了分片試驗對單元的要求,這里稱之為應變約束條件;(6)(7)是從位移的角度反映了分片試驗對單元的要求,這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應用了這些條件。

    傳統的位移法構造的協調元自動滿足了上述各式,下面對其它有限元分析方法進行分類分析。

3 使用應變約束的有限元法

方程(4)(5)是對應變的要求,沒有涉及剛體位移,同時應力和應變之間只有一個線性關系,所以,假設應變或應力的有限元法都應滿足這兩個方程。

方程(4)(5)表達的是應變與位移之間的關系,它們必然與彈性力學的幾何方程:

                                            (8)

有著密切的關系。把幾何方程(3.1)寫成弱形式:

            (9)

為權函數,應用兩次格林公式變換上述方程:

    (10)

在上式中,單元邊界上的 分別以它們對應的網線函數 代替:

(11)

如果方程(11) 是應力的變分,即滿足了齊次的平衡方程:

                              (12)

則方程(12)變為:

          (13)

此即為薄板彎曲問題在單元上的最小余能原理的變分方程。

    方程(11)(13)便是連續性方程弱形式中的兩個典型形式。在方程(11)(13)中當 分別取常數,另兩個為零時,便可得到方程(4)(5),即符合分片試驗的要求。

   擬協調元與雜交混合元便是采用方程(11)對應變或應力進行離散,而應力雜交元采用的是(13)式。不同的是應力雜交元與雜交混合元是由假設應力出發,而擬協調元是由假設應變入手。而應力與應變之間的關系只是一個線性變換,如果應力與應變設在同一空間,僅是設應力與設應變的不同是不會影響最終結果的。

從方程(11)(13)的來源(9)式可以看出,幾類單元中的應變(或應力)只在較弱的意義上滿足相容方程。因平衡方程與連續性方程是一對對偶的微分方程組,有限元法中已經使用了平衡方程的弱形式—最小勢能原理,這里使用了連續性方程的弱形式也許更為合理。可以驗證,單元應變滿足相容條件的強形式與弱形式對單元的精度一般影響不大。

    由以上討論可見,在有限元分析中選常數作檢驗函數是保證單元通過分片檢驗的關鍵。而這一點在以上提到的三種有限元法中都能自然得到滿足。構造三角形單元時,常取面積坐標作為檢驗函數基,因三個面積坐標之和為1,固在離散每個應變時,檢驗函數應取遍三個面積坐標,這樣便保證了檢驗函數為常數時式(5)(6)成立。

精化直接剛度法雖然從設位移出發,但又對應變矩陣進行了修正。以下討論其應變的改進作用。

在方程(4)的兩邊同時除以單元的面積 ,變為:

                 (14)

上式表達了單元的平均應變所應滿足的方程。可把上式寫成如下矩陣形式:

                                                (15)

其中 與文[7]中相一致, 為結點參數矢量。一般的有限元法得到的應變表達式:

                                                    (16)

其單元的平均應變:

                                           (17)

不一定滿足式(14),因此把平均應變進行修正,即換成式(18)中表達的所需形式,修正后的應變陣為:

                                             (18)

這樣便保證了單元能夠通過分片檢驗。此外,得到 時還可使用(6)式,從而得到與式(14)不盡相同的形式。

    因此,可以說精化直接剛度法是通過修正單元的平均應變,使其通過分片試驗的有限元分析方法。精化直接剛度法實施起來是巧妙而方便的。

4 使用位移約束的有限元法

    使用位移約束方程的方式有兩種:第一種是位移的廣義參數的個數不增加,改變以往的采用結點參數確定各廣義參數的方法,廣義協調元和雙參數法便是采用這種方法;第二種方法是采用增加位移中的廣義參數的做法。此外兩種做法也可混合使用。

4.1 廣義協調元和雙參數法

    方程(6)(7)反映了分片檢驗對位移函數的要求,與其相應的有限元法是廣義協調元和雙參數法。從(6)(7)可以看出,若使單元通過分片檢驗,則應包含條件:

i=1,…,r                     (19)

廣義協調元與雙參數法在確定位移廣義參數的時候包含上述方程。這兩種有限元法得到的位移插值函數在結點處的表達不一定精確,有時會有一個高階小量的誤差。而邊界位移條件是直接由結點位移表示的,因此在做分片檢驗時會有一定的誤差,即不很準確地通過分片檢驗。這一點可由文[8]中的算例看出。

對于某些特殊形狀的單元來說,方程(19)只是方程(6)(7)的充分條件,非必要條件,這一點可以從十二參矩形單元中看出。眾所周知,矩形薄板單元不滿足 連續,可以驗證它同樣不滿足(19)式。但這種單元能通過分片試驗而且計算精度較高,其原因是它滿足方程(6)(7)

4.2 增加位移中的廣義參數

    可以增加位移函數中的廣義參數,通過分片試驗的條件消去這些多余的廣義參數,這樣得到的位移插值函數會得到改善或完全滿足分片試驗的要求。這種方法的實質是改善了位移函數的空間,但它的應用還非常少,其主要原因是計算中涉及求逆運算。目前計算機技術及軟件的高速發展,尤其是代數運算軟件的出現,這種做法也許會有一些生命力。下面舉一個通過這種方法改善單元性能的例子。

   在構造三角形單元時,人們呈為完全的三次式中十個基函數的取舍大費周折,面積坐標的應用解決了對稱性的問題,但Zienkiewicz元(BCIZ元)的性能不佳也是人所共知的。今位移函數的基取完全的三次式,含十個基函數,采用面積坐標可寫成如下形式:

                                        (20)

其中 Zienkiewicz元的單元位移函數, (i=1,2,3)為三個面積坐標,C為待定參數。以下通過C的確定來改善單元的性質。因只有一個待定參數,方程(6)不可能完全得到滿足,考慮到對稱性將(6)中的前兩式相加得到方程:

                                           (21)


應用方程(21)可以確定出參數C,其中 由采用結點參數建立的單元邊界法線方向轉角的線性插值函數來表達。定出C后便可用常規方法得到單元剛度陣。

對邊長為0.5的方板做圖示兩種網格劃分,坐標原點在1點,其中圖二中5點坐標為(0.20.15),邊界結點的位移參數按任意的二次撓度場 給定,計算5點的撓度及轉角,表1列出了Zienkiewicz元和改進的Zienkiewicz元結果。

1 分片試驗

 

2×2交叉網格

不規則網格

 

 

改進前

0.030052

0.065000

0.11000

0.017090

0.053492

0.091089

改進后

0.029375

0.065000

0.11000

0.016666

0.051481

0.085748

精確值

0.029375

0.065000

0.11000

0.016650

0.052000

0.086000

可以看出改進Zienkiewicz元的性能有很大的改善,以下做一算例。

算例:方板中心受集中力,根據對稱性,取板的四分之一,采用交叉網格的計算結果如表2

2  BCIZ元改進前后板中心撓度計算

單元網格

2×2

4×4

8×8

16×16

32×32

精確值

四邊

簡支

改進前

0.01231

0.01205

0.01199

0.01198

0.01198

0.01160

改進后

0.012566

0.01190

0.01170

0.01163

0.01161

四邊

固支

改進前

0.005837

0.005825

0.005799

0.005792

0.005791

0.005612

改進后

0.006397

0.005873

0.005699

0.005639

0.005620

    由算例可以看出改進Zienkiewicz元的收斂性能有了很大的改善,而且單元采用的位移函數不僅具有幾何對稱性,各結點的撓度和轉角值也表達精確。在三次位移函數的單元中,這種單元的位移函數的插值空間得到了進一步改進。

5 總結

通過前面的討論可以看出,各有限元法與分片試驗是密不可分的,它們自覺或不自覺得滿足了分片試驗的要求。這些有限元法合理的共同原因也許在于它們能通過分片試驗。

滿足了應變約束條件的有限元法,一般是以損失連續性方程的嚴格性為代價的,這一點對計算結果一般影響不大,而且往往會改善計算精度,這些有限元法對分片試驗的滿足十分自然,但有些時候會涉及秩的問題;

使用了位移約束條件的有限元法,以損失位移函數在單元結點的準確程度為代價,換取了單元總體性能的改進,或者改善了位移試函數的插值空間,這類有限元法對在保持位移函數的幾何對稱性上有些困難。以上兩類有限元法都得出了很多屬于自己特色的單元。

   本文得出的是常應變分片試驗的要求,同樣可以得出應變或位移在什么情況下,能夠通過線性應變的分片試驗。如果單元的位移參數較多,位移插值函數已含完全三次多項式,單元片在線性應變情況下也應計算準確,這樣才更值得我們增加參數。

           

[1]    O.C.Zienkiewicz and R.L.Taylor, The Finite Element Method, (Fourth Edition), Mcgraw-Hill Book Company, 1988.

[2]    唐立民,有限元分析的若干基本問題,大連工學院學報,197918(2), 1-15

[3]    唐立民,陳萬吉,劉迎曦,有限元分析中的擬協調元,大連工學院學報,1980,.19(2), 19-35

[4]    T.H.H.Pian, Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distributions, A.I.A.A.J., 1964, 2(7), 1333-1336

[5]    T.H.H.Pian, and Dapeng Chen, Alternative Ways for Formulation of Hybrid Stress Elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 1982, 18, 1679-1684

[6]    龍馭球,辛克貴,廣義協調元,土木工程學報,198711-14

[7]    陳紹春,石鐘慈,構造單元剛度矩陣的雙參數法,計算數學,19913286-296

[8]    陳萬吉,單變量有限元的新思考:精化直接剛度法,計算結構力學及其應用,199310(4)263-268

[9]    Tang Limin, Chen Wanji and Liu Yingxi, String Net Function Approximation and Quasi-Conforming Technique, Hybrid and Mixed Finite Element Methods, S.N.Atluri, R.H.Gallagher and O.C.Zienkiewicz, John Wiley & Sons, 1983.

[10]石鐘慈,陳紹春,九參數廣義協調元的收斂性,計算數學,19912193-203

Patch Test and Finite Element Method

Tian Zhongxu

(Dalian University of technology, 116024)

Abstract: This paper realized that the Patch Test is very important to Finite Element Methods. Derive the requirement to strain and displacement of Patch Test. Give the relationship between weak form of continuity equation and the Patch Test, through which the hybrid element method and quasi-conform element method are analyzed. Refined direct stiffness method and generalized conforming elements are also analyzed about why they can pass patch test. At last, as an example of using the requirement of patch test for displacement, improved the BCIZ Element.
Key Words:
patch test, weak form, string-net function, finite element method


作者點評:

    自從分片試驗出現以后,關于它的爭論和分析從來沒有停止過,但不影響它在有限元法的發展中所起的作用。如開始就更充分的相信分片試驗,并從應用它入手,有限元的發展也許會有所不同。2001.12.02.


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