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薄板彎曲問題的一種弱形式離散算子解法

注意:本論文已在《計算力學學報》雜志(2000,17(2):163-169)發表
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田中旭   唐立民 

(大連理工大學 力學系

摘要:本文得出了薄板彎曲問題控制微分方程弱形式,弱形式中已含邊界參數,由這個方程可以方便地得出薄板彎曲問題的數值求解格式和邊界條件的處理方法,有限元法只是它的一個特殊情況。本文導出一種離散格式,它對不再要求 連續的位移函數能夠給出較高的計算精度。

關鍵詞:弱形式  邊界條件  離散算子  有限元法

分類號:O242.21

1   

薄板彎曲問題在某些方面促進了有限元理論的發展[1]-[7],因為它包含高階微分算子和較復雜的邊界條件,應用有限元法的關鍵在于要求選擇試函數具有一定的連續性。有限元的根據是變分原理,處理邊界條件方便。

[8]中提出了離散算子的概念,它試圖把包括有限元和差分的計算統一在一個計算框架內,從而尋求現有方法以外的可能更好的計算方法。李榮華教授等提出所謂“廣義差分法”[9][10]也是在有限元之外作出了創新和發展。本文沿著離散算子的方向,但文[8]沒有給出完整的處理含高階導數的邊界條件的算法。這里采用了弱形式推導離散格式,從而使離散格式和邊界條件有機地聯系起來。本文的試函數采用高階函數,而另一文[13]則采用兩個線性函數作為試函數離散重調和方程。

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[1]    T.H.H.Pian, Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distributions, A.I.A.A.J., 1964, 2(7): 1333-1336 .

[2]    T.H.H.Pian, and Dapeng Chen, Alternative Ways for Formulation of Hybrid Stress Elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 1982, 18: 1679-1684

[3]    唐立民,陳萬吉,劉迎曦,有限元分析中的擬協調元,大連工學院學報,1980, 19(2): 19-35

[4]    龍馭球,辛克貴,廣義協調元,土木工程學報,1987, 1: 1-14

[5]    陳紹春,石鐘慈,構造單元剛度矩陣的雙參數法,計算數學,19938: 286-296

[6]    陳萬吉,單變量有限元的新思考:精化直接剛度法,計算結構力學及其應用,199310(4)263-268

[7]    張鴻慶,王鳴,多套函數有限元逼近與擬協調板元,應用數學和力學,(1985,1: 41-52

[8]    唐立民等,關于連續體結構數值計算的微分算子離散化方法()(),大連工學院學報,1973年,第一期和第三期

[9]    李榮華,廣義差分法及其應用,吉林大學自然科學學報,1995114-22

[10]李榮華,陳仲英,微分方程廣義差分法,吉林大學出版社,1994

[11]陳仲英,雙調和方程廣義差分法的變分原理和數值分析,高等學校計算數學學報,1993 2182-194

[12]G.P.Bazeley, Y.K.Cheung, B.M.Irons, and O.C.Zienkiewicz, Triangular elements in bendingconforming and non-conforming solutions, Proc Conf Matrix Methods in Structural Mech., Air Force Inst. Of Tech., 1965:547~576.

[13]唐立民,田中旭,高階微分的弱形式離散計算,大連理工大學學報校慶50年特刊(將發表)

A Weak Form Discrete Operator Method of Solving Thin Plate Bending Problems

Tian Zhongxu, Tang Limin

(Dalian University of Technology)

Abstract: The weak form formula of thin plate bending problems is presented, which includes the boundary parameters. From this formula, both the solving forms and the method of dealing with boundary conditions can be got. The finite element method is only one of these forms. A discrete form is given, which proved to be with high accuracy even when the displacement lost continuity.
Key Words:
weak form; boundary condition; discrete operator; finite element method


作者點評:

在微分方程的邊值問題中,微分方程的離散與邊界處理的有機結合是其難點和特色所在。2001.12.02.

 


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