彎曲與分叉渠道潰壩波運動特性的數值預報

注意：本論文已在《水動力學研究與進展》雜志(Ser. A., 2002，17(1): 69-76)發表
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王嘉松¹ ，       何友聲² ，       倪漢根³         

（1．上海交通大學機械與動力工程學院，上海200030；

2．   上海交通大學工程力學系， 上海200030；  3．大連理工大學土木系，大連116023）

摘  要  基于TVD格式的有限差分算法思想，考慮節點與單元的對應關系，對任意四邊形單元各邊的通量采用優選限量函數的組合型TVD格式進行插值，在時間上采用兩步Runge-Kutta法離散，建立了守恒型淺水方程有限體積的高分辨率計算模型。首次針對180°強彎曲河道、90°雙支以及45°三支分叉渠道，數值預報了潰壩波的演進過程，揭示了潰壩波在彎曲河道中內外兩岸速度與水位變化，在分叉河道中自動進行流量與動量再分配，在叉點角區形成旋渦、壅高等復雜運動特征，同時反映了濕底與干底的影響。

關鍵詞  淺水方程，有限體積，TVD格式，彎曲渠道，分叉渠道，潰壩波

中圖分類號： TV131.4     文獻標識碼：A

1．前言

    許多水利和環境工程問題，都需要進行淺水流動分析，數值計算逐漸成為分析的重要手段。雖然二維淺水流動一般問題的計算比較成熟，但對于有間斷、帶自由面、含復雜邊界等復雜淺水問題的研究，由于對數值計算方法要求較高仍處于發展之中。對潰壩問題的研究，一直是引人關注的重要課題，具有重要的學術價值和工程應用背景。

過去對潰壩問題的研究，以差分方法為主，所用的格式有特征線法、顯式和隱式差分法以及最近占據重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式^[1]在該類問題研究中也逐漸發揮其獨特的作用, 如用來計算一維潰壩波的傳播、反射^[2~5]和二維潰壩波的傳播、反射與繞射^[6~9]。對于復雜邊界，通常采用坐標變換，將不規則計算域轉換到規則計算域，但同時方程也復雜化。近年來，在有限體積離散基礎上的近似黎曼解法，用于計算淺水流動（包括潰壩波）問題，取得了良好效果^[10~13]。但另一類高分辨率格式—TVD格式用在有限體積方法中尚不多見。

傳統TVD格式形式多樣，數值性能也有一定差異，有的耗散性偏大，有的壓制性過強，主要在于所選用的限量函數的不同。作者在潰壩波計算的比較研究中，發現有的限量函數在計算干底情況下的潰壩波時會出現壩址處的非物理扭曲現象，通過深入研究，得到了優選的限量函數，并建立了求解淺水方程帶最優限量函數的組合型TVD格式^[9]。與實驗結果進行比較，進一步表明采用淺水方程和組合型TVD格式能有效地描述潰壩波的運動特征^[6]。在文獻[8]中提出了衛星單元概念和主單元及其衛星單元間的拓撲關系，把節點和單元對應起來，建立了淺水方程在任意四邊形單元上的有限體積TVD格式，可以直接在任意控制單元上進行求解。本文擬進一步用于解決具有復雜邊界，例如彎曲與分叉渠道潰壩波傳播的計算問題。關于彎曲河道，國外有一些實驗結果^[14]，而分叉河道中潰壩波的預報，國內外至今未見報道。本文算法的成功實現，可以較好地解決天然河道潰壩波的計算問題，這將有助于對實際河道潰壩波運動特征的進一步認識和為防災減災決策提供可靠依據。

2        控制方程

描述潰壩流動的控制方程一般是通過作靜水壓力、小底坡和長波假定，對Navier-Stokes方程進行深度平均而得到的淺水方程，將其寫成守恒形式為

                              (1a)

其中

     (1b)                        

這里h是水位， 分別是x、y方向的單寬流量、底坡和摩阻坡降。

摩阻坡降 、 可由曼寧公式確定

                          (2)

式中n為曼寧粗糙系數。

3        有限體積TVD格式

    文獻[8]提出了衛星單元概念并定義了單元的幾何拓撲關系，在此基礎上，構造了任意四邊形單元的有限體積高分辨率格式。但采用的是一參數限量函數，本文采用優選的限量函數^[9]，以避免在干河時出現非物理扭曲。

    針對單元i(內部區域 ，邊界 )，對(1a)式進行積分，得到積分形式的方程

                                  (3)

式中A為區域 的面積，dl為邊界 的弧長，n為邊界 的外法向單位向量。邊界 由四條線段組成，上式左端第2項可以寫成

                                           (4)

其中 為邊長， 為第k邊外法向通量。

    設向量U在單元內部保持不變，進一步離散(3)式，得到有限體積基本方程

                                        (5)

其中 滿足

                                       (6)

    利用F(U)和G(U)的旋轉不變性，引入旋轉變換矩陣 及其逆矩陣 可改寫（5）式為

                                (7)

其中

            ( 8)

    記(7)式右端為 ，則有

                                   (9)

采用兩步Runge-Kutta法離散上式，時間精度也可以達到二階，得到

                        (10)

    在每一單元的每一邊，其通量按組合型TVD格式給出(例如對于單元i的第1邊)

                                     (11)

式中 為單元i和衛星單元1的第l個右特征向量的算術平均。采用組合型TVD格式進行插值，

                         (12)

其中 代表單元i和衛星單元1的第l個特征速度的算術平均， 為二單元特征變量差分的算術平均， 為限量函數，采用文獻[8]優選得到的MUSCL型限量函數，

             (13)

其中0.138正是計算潰壩波時，介于緩流（亞臨界流）與急流（超臨界流）之間的臨界水深比。當初始下游與上游的水深比較大（濕底）時，宜采用單參數限量函數 ，否則，在干底時宜采用雙參數限量函數 以避免在壩址附近的非物理扭曲現象。

                (14)

                  (15)         

其中

         (16)

              (17)

     時空步長比為

                                                        (18)

其中 表示單元i和衛星單元1形心之間的距離。

4        邊界條件

為了使邊界與內點保持同樣精度和采用統一的格式，本文增設域外虛擬單元。

(1)    開邊界，需視流態確定^[6]；

(2)    固壁邊界,

   與邊界重合的邊：

     .

域外虛擬單元：

      （形心）；

   （各邊）

表示其法向通量和切線通量為零。其中下標“－1”、“－2”表示域外單元，“b”表示鄰近邊界的內部單元(如圖1所示)。不計域外單元的幾何尺寸和形狀，因為計算中不需要對其量化。

5        數值預報

5.1   180°彎道   

    設有一180°彎曲渠道，入口與出口直段長2400m，彎曲段內外半徑分別是300m和900m，渠道寬600m。壩址位于2240 m處的直段。設上下游水深分別是10m和0.1m，曼寧粗糙系數為0.02。一般認為，平均徑寬比小于3，則視為強彎曲，本例平均徑寬比為1.0，顯然屬于強彎曲類型。

    采用上述計算方法，獲得了該彎曲渠道全潰潰壩波的數值模擬結果。計算歷時100s、300s、470s后所得到的自由水面和速度場分別示于圖2、圖3和圖4。可以看出，剛開始時，潰壩波在平直段均勻推進，進入彎道后，潰壩波的運動受到兩岸固壁的限制，流速方向和水位分布發生變化。外側水位略高于內側水位，且最前端的流體（主波）速度總是有偏離彎道方向推進的趨勢，這應是離心力作用以及渠道寬度較大的緣故。但再進入平直段后，這種變化逐漸減小，當經歷更長一段時間后，這種差別逐漸消失，兩岸流體以幾乎相同的波高和速度推進，甚至外側流體推進速度略快。這些特征與已有的實驗結果^[14]是一致的。

圖2  彎道內潰壩流動的自由水面與速度場（t=100s）

圖3  彎道內潰壩流動的自由水面與速度場（t=300s）

圖4  彎道內潰壩流動的自由水面與速度場（t=470s）

5.2  90°雙支分叉渠道

圖5  雙支分叉渠道潰壩波水面線 (左圖為濕底，右圖為干底)

5.3  45°三支分叉渠道

一45°三支分叉渠道，兩條對稱分布的分支渠道與主河道成45°角，主河道長2300m,寬400m，分支河道寬300m。壩址位于900m處。同樣取上游水深是10m、下游水深是2m和0.01m，曼寧粗糙系數0.02。計算潰決40s和80s時，水深比為0.2情況下水位等值線如圖6所示；水深比為0.001情況下水位等值線如圖7。可以看出，潰壩波運動特征與上例類似，上游波形和波的推進速度在不同水深比時具有相似的特征，在角區存在旋渦。但交匯處和下游波形及推進速度卻有較大差別，下游小水深情況下與大水深相比，波形更平緩，而且在到達交匯處之前推進速度略快。

圖6  三支分叉濕底渠道潰壩波的水位等值線 （左圖t=40s，右圖t=80s）

圖7  三支分叉干底渠道潰壩波的水位等值線 （左圖t=40s，右圖t=80s）

6 結語

在作者近期研究的基礎上，基于四邊形單元及其衛星單元所定義的拓撲關系，利用帶有最優限量函數的組合型TVD格式和Runge-Kutta法分別作空間離散和時間離散，建立了淺水方程的任意四邊形單元的有限體積TVD格式，為任意渠道潰壩波的計算提供了高分辨率、高精度的數值手段。首次針對180°強彎曲河道、90°以及45°分叉河道，預報了潰壩波的演進過程，揭示了在復雜河道特別是具有彎道、分叉等天然特征時潰壩波的急劇變化特性。雖然本文是針對潰壩波—非恒定自由表面間斷流問題所作的研究，但可以預見，本文的方法可以方便地推廣應用于其它具有潮波、水躍現象甚至更一般的恒定與非恒定淺水問題的計算中。

參  考  文  獻

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[6]     王嘉松, 倪漢根, 金生，二維潰壩波傳播和繞流特性的高精度數值模擬，水利學報，1998，（10）：1-6.

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[9]     Wang Jia-song, Ni Han-gen and He You-sheng. Finite-difference TVD scheme for computation of dam-break problems. J. Hydr. Eng., ASCE, 2000, 126(4): 253-262.

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Numerical simulation of dam-break flows in bend and furcated channels

           Wang Jia-song¹        He You-sheng¹         Ni Han-gen²

(1.Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030;  2. Dalian University of Technology, Dalian 116023) 

Abstract  A high-resolution finite-volume method for solving the conservative shallow water equations is presented in this paper. The method is based upon extending the finite-difference TVD scheme to finite-volume method considering the corresponding relationships between elements and nodes. A second-order hybrid TVD scheme with an optimum-selected limiter and a two-step Runge-Kutta method are utilized to discretize the integral type of the shallow water equations over arbitrary quadrilateral cells. The dam-break flows are simulated for the first time considering the cases in channels with a 180°strong bend, a 90°bifurcation and a 45°three branches. The complex characteristics of velocity and water elevation changes at both banks of the curved sections, auto-reassignment of discharges and momentum as well as vortices and super-elevation near the corner of embranchment regions in the furcated channels are displayed. The effects of wetting bed and drying bed are discussed simultaneously.

 Key words  shallow water equations, finite-volume method, bend channel, furcated channel, dam-break Bores

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