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柔性機械臂逆動力學問題的分析和求解

注意:本論文已在《上海交通大學學報》2002, 36(3):416-419 發表
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田中旭1 劉正興2 陸佑方3
(1
.上海大學,CIMS及機器人中心,上海,2000722.上海交通大學大學工程力學系,上海,200030
3.吉林大學,理學院,長春,130025

摘要:采用割線坐標系對機械臂的運動進行了描述,并分快變(振動)和慢變兩方面進行逆動力學問題的分析與求解。在對快變部分逆動力學性質的分析中發現,快變部分精確的逆動力學解是發散的。在進行柔性機械臂逆動力學求解時,應在慢變的意義上進行。文中給出了一種去掉系統快變部分的簡單方法,并進行了逆動力學求解。數值仿真結果表明,該處理方法是合理的。
關鍵詞:柔性機械臂;動力學;逆動力學;振動;大范圍運動
中圖分類號:O313.7 文獻標識碼:A

the Analysis and Solution for Inverse Dynamic Problems of Flexible Arms 

Tian Zhongxu1 Liu Zhengxing2 Lu Youfang3
1Center of CIMS & robotics, Shanghai University, 200072; 2Department of Engineering mechanics, Shanghai Jiaotong University, 2000303Institute of Science, Jilin University 130025

AbstracetThe paper concentrates on the analysis and solution for inverse problems of flexible arms. The secant coordinate system is introduced to describe the location of the two-link arm. The fast (vibration) part and the slow part are analyzed for the inverse problems. The solutions for the fast part are found emanative through the analysis. So, the solution for the flexible arms should be carried out while only the slow part is included. A sample method is given to get rid of the fast part and get the solutions for the inverse problems. Numerical results show that this method is correct.
Key words
flexible armdynamicinverse dynamicvibrationmovement with large range

    雙連桿柔性機械臂是柔性系統中最為典型的例子之一,在實踐中,對其端點的運動實現精確的控制的最重要因素是控制算法的計算速度,復雜的控制算法難以實現。而逆動力學建模和控制是緊密相關的,通過逆動力學方法,得到一個比較精確的驅動力矩作為前饋,再施以適當的控制算法,以實現對機械臂的高速、高精度控制,則是一種具有實效的方法。
    關于柔性臂控制的逆動力學方法的研究報道尚不多見,其中文獻[1-5]對動力學方程解耦,即把動力學方程近似分解成一些相對簡單的系統,從而得到逆動力學的表達式。Matsuno[6]通過對采用切線坐標系的動力學模型進行簡化,得到了一種實時的逆動力學方法。Gofron等應用了驅動約束法[7],把期望運動處理成非定常約束。Bayo在頻域內進行了逆動力學求解[8],[9]。Asada等提出了一種迭代求解的方法[10]。
    在逆動力求解中常常會遇到求得的力矩不準,力矩振蕩很大,求解煩瑣等問題。因此,討論逆動力學求解的特點和性質是非常重要的,并有助于采用合理的方式得到比較好的前饋力矩。

1 動力學和逆動力學模型

    一般情況下,柔性機械臂的兩根連桿橫向彈性變形(彎曲)較小,則忽略機械臂的徑向變形;假定關節及臂端負載均為集中質量,則忽略其大小。同時,暫不考慮電機轉子的轉動慣量和電機的阻尼。


 

 

 

 

圖1 雙連桿柔性臂
Fig.1 Two-link flexible arm

 1是一雙連桿柔性機械臂,兩臂間關節電機質量為 ,上臂端部集中質量為 ,兩連桿質量和抗彎剛度分別為 ,兩連桿的長度分別為 為兩關節電機提供的力矩。

    連桿變形很小,對每根連桿建立一個運動坐標系,使得連桿在其中的相對運動很小。機械臂的整體運動則可由這兩個動坐標系的方位角來描述。于是,在動力學模型中將有兩類變量,一類是幅值很小但變化迅速的彈性坐標,另一類是變化范圍較大的方位角。本文采用端點連線坐標系,即將連桿兩端點的連線作為動坐標系的x軸(見圖1)。描述整體運動的是兩個角度 ,而連桿相對于動坐標系的運動則可視為簡支梁的振動。這樣,動力學模型剛度陣的彈性坐標互相不耦合,臂端的位置可由 確定,其期望運動形式(或數值解):

                                  (1)

如采用其他形式的動坐標系,兩桿的彈性坐標將耦合在一起,而且在逆動力學求解時,將不得不處理微分方程與代數方程組合的方程組。

    對每個機械臂取兩階模態坐標來描述,應用拉格朗日方法得到動力學方程:

                                      (2)

式中。 為6×6質量陣; 為速度的二次項; 為6×6剛度陣; 為重力的廣義力向量; 為驅動力矩的廣義力向量; ,其中 分別是兩個機械臂的一階和二階彈性坐標。

    柔性臂系統的逆動力學問題,是指在已知期望末端操作器運動軌跡的情況下,結合逆運動學與動力學方程對關節力矩進行求解。如果直接進行逆動力學求解,即把式(1)代入動力學方程式(2)中,對方程中的彈性坐標和力矩進行求解,一般情況下,其數值解將很快發散。

    表達系統運動狀態的坐標可以看成有兩部分組成:大范圍的相對緩慢的運動(慢變)部分和小范圍的振動(快變)部分。本文試圖將這兩部分分離,分別討論它們的逆動力學特性,并以此來分析整體系統的逆動力學問題。

2 快變部分的逆動力學問題

    首先,尋求兩個關節力矩使端點保持不動,先不考慮大范圍的運動。    此時,重力只起了一個改變平衡點的作用,在方程中把與它相關的部分略去,在動力學方程(2)中令 ,得:

(3)

式中

在方程(3)中消去 得:

                             (4)

式中:

  ,   

,   ,   ,  

, , ,  

,  , ,

, 

對式(4)降階:

                             (5)

式中

                 

其中,
I是四階單位陣。方程(5)可化為下列形式:

                              (6)

式中 。求出 的特征值分別為

         

式中

    的特征值存在正實部,則方程(3)所表示的系統不穩定,其解發散,即雙連桿柔性臂在這種情況下,其振動問題的精確逆動力學解是發散的。

的各特征值在復空間分布關于虛軸對稱,必然會出現正實部,如選取更多階模態函數離散時,會出現同樣的情況。因此,選取更多階模態函數離散時,其振動問題的逆動力學解是發散的。

如應用應用文獻[10]中給出的迭代法進行逆動力學求解,當積分步長很小時,其解是發散的;當積分步長較大時,便可得到較好的結果。其原因是因為快變部分的逆動力學解發散,當步長較大時相當濾掉了快變部分,便可得到較好的結果。

3 慢變意義上的逆動力學

    在進行慢變意義上的逆動力學求解時,應試圖將彈性坐標中的振動部分濾掉,彈性坐標中不應含有振動部分,再結合期望的 求得力矩。

    如圖1所示,機械臂的各參數:L1=0.87m, L2=0.77m, M1=1.9kg, M2=0.8kg, m1=12.75kg, m2=2.4kg, =602.5 , =218 。期望運動軌跡:機械臂端點繞以(0.8, 0)為圓心,做半徑為0.5m,以每周1s作勻速圓周運動。

    由機械臂的動力學仿真結果可以看到,彈性坐標的一階、二階時間導數項振動幅值很大,但它們都在零值附近振動,即其慢變部分很小。因此,在式(2)中去掉彈性坐標的一階、二階時間導數項,相當于濾掉了彈性坐標中的振動部分,經過整理得到如下形式:

                      (7)

式中, 中含 及其一階時間導數項。

將式(1)代入式(7)中,再對方程求解,可以得到彈性坐標和力矩,彈性坐標見圖2(圖中不含振動的曲線)。為了考察得到的力矩,將力矩代入動力學方程式(2)中,得到的各彈性坐標見圖2(圖中含振動的曲線),軌跡跟蹤曲線、端點坐標與期望運動相比較的誤差曲線分別見圖3和圖4。

含振動部分的彈性坐標

彈性坐標的慢變部分













 










圖2 各彈性坐標
Fig.2 Elastic coordinates













圖3 端點軌跡跟蹤
Fig.3 Track following of the end point













圖4 端點運動的x和y方向坐標誤差
Fig.4 the errors of coordinates in x and y Directions for the end movement

     由圖2中可以看出,由式(7)得到的彈性坐標(不含振動)與機械臂的動力學仿真得到的彈性坐標(含振動)的慢變部分十分相似,所以在式(2)中去掉彈性坐標的一階、二階時間導數項相當于濾掉了彈性坐標中的振動部分,說明這種方法是合理的。
由圖3與圖4給出的仿真結果可以看出,軌跡跟蹤很好,由此可見,得到的力矩精度很高.

4 結束語

    由圖2可以看到,機械臂在運動過程中,其彈性坐標由兩方面組成,一方面是振動部分(快變部分),另一方面是與載荷、慣性力有關的慢變部分。而彈性坐標速度、加速度的慢變部分很小,在逆動力學求解中將其略去是合理的,由式(7)得到了比較準確的彈性坐標慢變部分并非偶然。
由以上分析可以看出,對于柔性機械臂系統,振動部分的精確逆動力學解是發散的,進行逆動力學求解時,應濾掉振動部分,在慢變的意義上進行,才能得到比較好的前饋力矩。

參 考 文 獻

[1] Xia J Z ,Manq C H. Real time estimation of elastic deformation for end-point tracking control of flexible two-link manipulators[J]. The Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1992, 115(3):385-393.
[2] Matsuno F, Sakawa Y., Asano T, Quasi-static hybrid position/force control of a flexible manipulator[C]. Proceeding of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Sacramento, Publ by IEEE, 1991, 3:2838-2843.
[3] Matsuno F, Sakawa Y. Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of-freedom flexible manipulator[J]. Journal of Robotic Systems, 1994, 11(5):355-366.
[4] Yoshikawa T. Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving force[J]. IEEE J RA, 1987, (3):386-392.
[5] Kwon D S, Book W J. An inverse dynamic method yielding flexible manipulator state trajectories[C]. Proceedings of the American Control Conference, San Diego, Publ by American Automatic Control Council, 1990, 27-37.
[6] Matsuno F. Modeling and quasi-static hybrid position/force control of constrained planar two-link flexible manipulators[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1994, 10(5):287-297.
[7] Gofron M, Shabana A A. Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systems[J]. Nonlinear Dynamics, 1993, (4):183-206.
[8] Bayo E, Moulin H. An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain[C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Scottsdale, Publ by IEEE, 1989, 710-715.
[9] Bayo E, Padadopoulos P, Stubbe J, et al.. Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic robots[J]. Int. J. Robotics Research, 1989, 8(6):49-62.
[10] Asada,H., Ma,Z.D., Tokumaru,H.. Inverse dynamics of flexible robot arms: modeling and computation for trajectory control. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1990, 112: 117-185.

收稿日期:2000-12-11

作者簡介:田中旭(1971),男,博士后,研究方向:計算固體力學,CAE


作者點評:

 在進行柔性機械臂的逆動力學問題求解時,常常發生數值發散,數值大幅震蕩等現象。如能找到產生這些現象的根源,將有力地促進逆動力學問題的有效解決,而且算法可能十分簡單,本文在這方面進行了一定的探索。2002.5.17.


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