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巷道圍巖初始應力場和彈性模量的區間反演方法

注意:本論文已在《巖石力學與工程學報》 2002,21(3)305-309發表
使用者請注明論文出處

王登剛1,2,劉迎曦1,2,李守巨1,2,剛憲約1,2

1  大連理工大學工程力學系  大連 116024;

2  工業裝備結構分析國家重點實驗室 大連 116024)

  從有限元數值計算的角度對巖土工程參數的可辨識性進行了分析。在可辨識性分析的基礎上,考慮觀測數據的不確定性,引入不確定問題求解的區間分析思想,建立了聯合采用圍巖位移和應力觀測數據同時識別地應力和圍巖彈性模量的反演模型。并采用約束變尺度方法求解該反演模型,獲得地應力和彈性模量所在區間范圍。

關鍵詞 區間分析,約束變尺度方法,初始應力場,彈性模量

中圖分類號 O39TU457

1.  引言

輸入參數(巖體力學參數、初始應力場)和巖體本構關系給不準是巖土工程數值模擬的兩個瓶頸問題[1]。采用位移等觀測數據推斷巖體彈性參數或初始地應力,這類彈性問題的位移反分析,由于公式推演和計算過程的實施較為簡單,且所得結果通常能較好地近似反映實際工程問題的主要特征[2]70年代以來受到人們的重視[2-6]。實際工程中,地應力和圍巖彈性參數一般均是未知的,尋找能夠同時確定它們的方法更具有實用性。文[3]曾就同時辨識圍巖彈性參數和地應力可行性進行過研究,楊林德等率先將位移和擾動應力增量量測信息同時用作反演分析的依據,提出了可同時反求初始地應力參數和地層彈性參數的位移、應力反演分析法[2];文[4]曾在引入所謂“預估約束”的條件下同時識別彈性參數和地應力。但是,由于觀測誤差客觀存在的不確定性,據此推演出的巖土工程參數也應為不確定的,所以,反演問題本質上是一個不確定問題,本文從該角度對此類問題進行研究。

從有限元數值計算的角度,本文首先就同時辨識圍巖彈性參數和地應力可行性進行了探討。然后在可辨識性分析的基礎上,采用區間分析方法的思想建立了聯合利用位移和應力觀測數據同時反演圍巖彈性模量和地應力的區間反演計算模型。在該模型中,用有限元法建立系統的控制方程,把待求變量看作區間數,以量測信息作為設計變量的邊界約束,運用約束變尺度方法求出地應力和彈性模量的最大值和最小值。

2.  同時辨識巷道圍巖彈性模量和初始地應力的可行性分析

    當巷道埋深較大時,其受力情況可以簡化為圖1示。巷道開挖所引起的巷道圍巖位移和擾動應力可以看作是,在水平壓力P=σ0x和垂直壓力Q=σ0y作用下與巷道形狀相同的彈性孔的位移和應力減去沒有開挖巷道前巖體已經完成的位移和應力。即相當于在巷道開挖邊界反向作用與地應力大小相等的邊界力時,所引起的圍巖的位移和應力(為作圖方便,以開挖邊界為矩形為例如圖2示)。采用有限元計算時,假設初始地應力作用下開挖邊界上的作用力為f 0,開挖引起的位移和應力增量相當于在開挖邊界上反向施加等效的節點力-f 0引起的圍巖圍巖和應力值[6]

               (1)

 

 

 

 

 

 

             1    地應力作用下的巷道                     2 地下巷道開挖釋放荷載

           Fig 1  A tunnel acted by in situ stress         Fig 2  Released load due to excavation of tunnel

式中: 為單元形函數矩陣; 為幾何矩陣; 為巖石的自重體積力矢量,當巷道埋深較大時可近似認為 =0 為邊界力, =( ) 為單元的厚度; 是具有開挖邊界的所有單元。有限元平衡方程為

                                 (2)

其中 。節點應變和應力通過式(3)求出單元應變和應力值并采用某種光滑措施(一般相當于乘一常數矩陣)后獲得。

                        (3)

    由于彈性矩陣D與彈性模量成正比, 與初始地應力成正比,應變矩陣B僅與單元幾何特性有關,由式(2)知對于任意常數 ,參數組 ,都可以與一個位移分布 相對應,因此,僅采用位移觀測數據來確定彈性模量和初始地應力場其解是不唯一的,只能確定地應力與彈性模量的比值。再由公式(3)可見,一點的應變值與其位移值二者是相關的,同樣可以有無數組(E,σ0x,σ0y,τ0xy)與一個應變分布 相對應,即使同時采用位移和應變觀測信息也不可能改變解的唯一性。但是,由于應力分布 與位移分布 通過彈性模量 聯系起來,并且由應力分布 與位移分布 可望唯一確定彈性模量 ,因此,如果有擾動應力觀測信息時,則可望唯一確定所有待求變量。實際上僅采用應力觀測信息,或聯合采用應力、位移觀測信息,或聯合采用應變、應力觀測信息都可望達到這種辨識的目的。當觀測位移信息足夠多時,哪怕只增加一個應力觀測信息,便可望唯一確定圍巖彈性模量和地應力。考慮到反演中采用的觀測量,應該是可觀測、易觀測的,且觀測精度愈高愈好等要求,而與應力觀測相比,一般而言,位移觀測更易于實施、精度高等特點,本文考慮聯合使用位移和應力觀測信息來同時識別位移彈性模量和初始地應力。

3.  基于區間分析思想的反演模型的建立及其求解方法的選擇

眾所周知,計算誤差一直是數值分析中一個比較麻煩的問題,它來源于數據誤差、截斷誤差和舍入誤差。人們努力使計算結果能在所要求的精度內,然而,在許多問題中,往往是推測計算結果的某種精度或者使用高精度的運算以保證計算結果的精度。但是,由于計算誤差的積累,可能使計算結果失去意義。巷道施工期間的監控量測,由于儀器精度和其它偶然誤差,所測變形是一隨機值,因而反推的圍巖參數和初始地應力也是隨機變量。當根據帶誤差觀測數據采用確定性方法進行反演時,反演結果必然不穩定,而且觀測數據的少量誤差常可以導致反演結果有大幅度的波動[2]

隨機理論、模糊集理論和區間分析是解決不確定性問題的三種方法[6-7]。用隨機理論或模糊集理論求解問題時需要知道不確定參數的概率密度函數或隸屬函數。而實際中這些函數往往難以確定,常常通過人為方式取舍。為了真實地反映客觀實際,減少人為因素的影響,提高計算結果的可靠性,運用區間分析求解不確定問題,正是這一思想的體現,它提供了一種簡便的方法。考慮到各種計算誤差,作為計算結果,區間分析方法得到的是包含其精確解的一個區間和誤差界,這就為人們能更準確地估計和評價所得的結果提供了一定的依據。

近年來,采用區間分析求解不確定問題的方法已經有所研究。區間數與普通數不同,四則運算規則也完全不同,對于兩個區間數 ,四則運算規定為:   ,區間數運算容易導致區間擴張。在用區間分析求解不確定問題時,有許多新問題需要解決,如如何保證解區間不被放大或縮小。文[9]提出采用直接優化法進行非確定結構系統區間分析,算例表明采用直接優化方法與窮舉組合法所得結果相同,而直接采用區間數運算規則所得結果區間有較大擴張,這里仍然采用這種方法處理本文問題。

當把待求變量(E,σ0x,σ0y,τ0xy)作為一個區間數時,相應地采用有限元法要區間的區間線性結構靜力學方程形式為

                                (4)

與公式(2)不同的是式(4) 都是區間矩陣和區間向量,其元素用區間數表示為

在已知位移和應力觀測精度的情況下,由位移和擾動應力觀測信息可得

                       

           .                           (5)

式中: 分別是第 個觀測點位移值和第 個應力觀測點擾動應力值; 分別是相應觀測點的位移觀測值和擾動應力觀測值;± ± 分別相應觀測點的位移觀測精度和擾動應力觀測精度; 分別是位移和擾動應力觀測數量。若再考慮對于實際工程問題,一般都能給出如式(6)所示的待求變量較為寬松的上下界限,以保證問題的解與實際物理意義相符。

, , ,             (6)

從而,可以建立同時確定圍巖參數和原始地應力的區間直接優化計算模型:

                     Min / Max  

                s.t.                                                  (7)

                       

             .        

              , , ,

    模型(7)是一個復雜的約束非線性優化問題,本文采用約束變尺度方法求解。約束變尺度方法的的基本思想是迭代和逼近。       約束變尺度方法具有收斂快、效率高、可靠性好與整體收斂性好、適應能力強等一系列優點。求解模型(7)的約束變尺度方法程序是在Powell型約束變尺度方法的基礎上,參考文獻[11]采取的監控搜索技術、尺度矩陣保持正定等改進措施編制而成。

4.數值算例

    某地下巷道,圍巖泊桑比u=0.2,假設初始地應力場均勻分布,且剪應力τ0xy=0(剪應力τ0xy不參加反演),由觀測位移值和擾動應力觀測值,確定圍巖彈性模量E和初始地應力分量σ0x σ0y

數值模擬時首先選取一組參數值(E,σ0x ,σ0y)=(60 000, 10, 40)MPa,用有限元進行正演計算,得到圖示測線①、②、③的收斂位移值,以及觀測點1 和點2的水平方向應力擾動分量(見表1)。然后把這這4個收斂位移值和擾動應力值作為觀測值,并考慮觀測儀器的精度確定圍巖彈性模量E0和原始應力分量σ0x ,σ0y所在區間范圍。用有限元法計算時,由于對稱,只計算半個區域,共分為265個三角形單元。各參數上下限取 =10 000Mpa =90 000Mpa = =2 MPa, = =60Mpa。計算結果如表2所示,對于某一給定初值在奔騰133微機上運行計算時間為40~70s         

 

 

 

 

  3    測點布置  

Fig 3  Allocation of observations

1 位移和擾動應力觀測數據

Table 1 Measured data of displacements and disturbed stresses

 

       觀 測 位 置                                         1           2  

      /10-3m                     6.0092      3.06386       -2.35280  

      擾動應力σx /MPa                                                                                               8.645100     11.02070

2  反演識別結果

Table 2  Estimated results of inverse analysis

 

        /103MPa         σ0x /MPa           σ0y /MPa

精確值                 60.000                              10.000                           40.000

      識別值(1)            59.74812~62.67481        9.33401~10.93187          38.43605~42.40228  

      識別值(2)            57.05523~63.10662      8.99394~11.05059            36.30976~43.00673
__________________________________________________________________________________

注:識別值(1)是指位移觀測精度為±10-4m,擾動應力觀測精度為±10-2MPa時的識別結果。

         識別值(2)是指位移觀測精度為±10-4m,擾動應力觀測精度為±10-1MPa時的識別結果。

5.結語

用區間數來描述非確定參數是一種簡單有效的方法。它可以減少建模過程中的人為因素的影響,提高分析結果的可靠性[10]。在已知觀測精度的情況下,具有不確定性的觀測數據采用區間數表示自然而可靠,基于觀測數據反演的參數也應該有一個區間范圍的思想,本文聯合采用位移和擾動應力觀測信息,就同時確定巷道圍巖彈性模量和初始地應力的所在范圍進行了探討。由于模型(8)是一個具有復雜非線性約束的約束優化問題,對這類問題,還沒有對任意初值都能得到全局最優解的萬無一失的解法,實際計算時采用多個不同初始點進行計算,挑出待求變量的最大或最小值是必要的,這是有待于進一步深入研究的一個問題。

 

參考文獻

1.  刁心宏,馮夏庭,楊成祥.巖石工程中數值模擬的關鍵問題及其發展[J].金屬礦山,199965-7

2.  楊林德.巖土工程問題的反演理論與工程實踐[M].北京:科學出版社,1996

3.  呂愛鐘,蔣斌松.巖石力學反問題[M].北京:煤炭工業出版社,1998

4.  吳凱華.隧洞圍巖原始應力與彈性常數的反分析[J].土木工程學報,1998212):51-59

5.  劉迎曦,王登剛,張家良,等.材料物性參數識別的梯度正則化方法[J].計算力學學報,2000181):69-75

6.  Gioda GBack analysis procedures for the interpretation of field measurements in geomechanics[J] Inter. J. for numerical and analytical methods in geomechanics 1987,(11):555~583

7.  Rao S SBerke LAnalysis of uncertain structural systems using interval analysis[J] AIAA Journal1997354):727-735

8.  Elishakoff  IThree versions of the finite element method based on concepts of either stochasticity, fuzziness or anti-optimization[J]Applied Mechanics Review1998513):209-218

9.  李慶揚,莫孜中,祁力群.非線性方程組的數值解法[M].北京:科學出版社,1999195-217

10.  陳懷海.非確定結構系統區間分析的直接優化法[J].南京航空航天大學學報,1999312):146-150

11.  余俊,周濟.優化方法程序庫OPB-2-原理及應用[M].武漢:華中理工大學出版社,1997

Interval back analysis for the initial stresses and elastic modulus of the surrounding rock of tunnels

WANG Denggang1,2, LIU Yingxi1,2, LI Shouju1,2  and GANG Xianyue1,2

 (1  Dept. of Eng. Mechanics., Dalian Univ. of Technol. Dalian, 116024, China)

(2    State Key Lab. of Struct. Anal. of Ind. Equip., Dalian, 116024, China)

Abstract  The differentiability of the initial stresses and elastic constants of the surrounding rock of tunnels was discussed firstly from the view of finite element method. An interval back analysis model was put forward to identify these parameters based on the measured data of deformation and disturbed stress in the surrounding rock. The uncertain property of the measured data was considered and the interval analysis method to solve the uncertain problems was induced in the present model. The interval of the initial stresses and elastic modulus can be obtained by using the constrained variable metric method to solve the present model.

Key words  interval analysis, constrained variable metric method, initial stress field, elastic modulus 

投稿日期:20000426

基金項目:國家自然科學基金資助項目(59779003)。



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