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弱形式方程中分片函數奇異性的光滑化分析

注意:本論文已在《力學學報》2002,34(4):379-388.發表
使用者請注明論文出處

田中旭   劉正興

上海交通大學工程力學系,上海,200030

 

摘要:本文研究了弱形式方程中的分片光滑函數因求導數出現的奇異性問題,意在為得到得到離散格式時正確處理這一問題提供依據。本文是在不改變擬合性質的情況下,將分片函數光滑化,則分步積分公式仍然有效,并通過光滑后的函數討論其積分的性質。經過分析總結出了幾條計算規則,文中的典型例子說明這些計算規則是合理而有效的。

關鍵詞:光滑化,弱形式,計算規則,有限元,離散算子差分,再現

 

Smoothing Analysis for the Singularity of Patch Functions in Weak-Form Equations

 

Tian Zhongxu   Liu Zhengxing

Department of engineering Mechanics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030

 

Abstract: In weak form equations, singularity problems will be faced when derivatives of patch functions are concerned. This paper concentrates on the disposal of the singularities of the sample and test functions in week forms, So that .to provide some rules for the disposal of the singularity. Through the analysis, the patch functions were smoothing without any change of their property of fitting and integrate property are analyzed. Some computational rules are given to ensure the singularities be disposed of properly while obtaining the discrete forms. These computational are frank and easy to be used. The computational rules can also be some basis of the analysis for the singularity. Two typical elastic problems, Beam bending and thin plate bending problems are disposed of and analyzed. The examples have shown that these rules are useful and reasonable.

 

Key Words: smoothing, weak-form, computational rules, finite element method, discrete operator difference, reproduction

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1.   引言

    弱形式的方程因其在數值求解方面具有優勢,在各個領域得到了廣泛的應用。如果弱形式中的試函數和檢驗函數是分片光滑函數,則其適應性更強,可以求解不規則的形狀和各種邊界條件形式。其成功應用的例子有有限元法,離散算子法[1],有限體積法,廣義差分法[2],不規則網格上的差分[3]和離散算子差分[4]等。目前關于這方面的理論還很不成熟,試函數與檢驗函數的連續性問題是其中的重點和難點,很多方法應用了分步積分公式來降低微分算子的階次,但實際中這些函數不具有分步積分公式所需要的連續可微條件。人們呈通過Soblev空間理論成功地分析了有限元法中的位移協調元。對于非協調元,絕大多數還是通過分片試驗來討論,其中對分片試驗與收斂性關系的討論還沒有停止。此外,數學上的研究方法和語言也很難被數學以外的科學工作者所理解和靈活應用。

    本文從一個新的,比較直觀的角度來討論和處理分片光滑函數的連續性問題,給出處理這方面問題的一個依據,也許可以作為研究這類問題的新方向。

    本文采用的處理方法,是在不改變擬合性質的情況下,將分片函數光滑化,則分步積分公式仍然有效,并通過光滑后的函數討論其積分的性質,也不會增加實際的工作量。

 

2 光滑化分析(以下省略,需要全文,請下載

5 結論

    本文給出了一種新的分析弱形式方程中分片函數奇異性問題的思路,并集中體現在幾個計算規則中。文中的例子說明這種分析方法是直觀而有效的,應用它不僅可分析已有的方法,還有利于發現新方法。本文的處理方法也可能會為這一問題的數學研究提供啟示。

 

感謝大連理工大學唐立民教授的幫助。

 

參考文獻

1.         唐立民等,關于連續體結構數值計算的微分算子的離散化方法()(),大連工學院學報,1973,(1)和(3

L.M.Tang et al., ‘Differential operator discrete method about numerical computing of continuous bodies ,Ⅱ’ , Journal of Dalian University of Technology, 1973 (1)and (3), (in Chinese)

2.         李榮華,祝丕琦,二階橢圓偏微分方程的廣義差分法(),高等學校計算數學學報,1982, (2)140-152

Li Ronghua and Zhu Piqi, generalized difference method for second-order differential equations, Numerical mathematics, A journal of Chinese universities, 1982140-152. (in Chinese)

3.         B.Heinrich, Finitite Difference Methods on Irregular Networks, Brikhauser Verlag, 1987.

4.         田中旭,唐立民,薄板彎曲問題的一種弱形式離散算子解法,計算力學學報,200017(2)163-169

Tian Zhongxu and Tang Limin, A Weak Form Discrete Operator Method of Solving Thin Plate Bending Problems, Chinese Journal of computational mechanics 2000, 17(2): 163-169 (in Chinese)

5.         B.M.Irons, “A conforming quartic triangular element for plate bending” Int. J. Num. Meth. Eng., 1969, 1, 29-46

6.         B.Fraeijs de Veubeke, “A conforming finite element for plate bending”, Int. J. Solide Struct.”, 1968 4, 95-108

7.         Tang Limin, Chen Wanji, Liu Yingxi, “Quasi-conforming element of finite element analysis”, Journal of Dalian University of technology, 1980, 1919-35

8.         龍馭球,辛克貴,廣義協調元,土木工程學報,198720(1)1-14

Long Yuqiu and Xin Kegui, ‘Generalized conforming elements’ (in Chinese), Journal of engineering construction, 1987, 1-14 (in Chinese)

9.         Long Yuqiu and Xin Kegui, “Generalized Conforming Elements for Bending and Buckling Analysis of Plate”, Finite Elements in Analysis an Design, 1987, 515-30

10.     龍馭球,新型有限元引論,清華大學出版社,1992

Long Yuqiu, introduction for new type finite element method, published by Qinghua University, 1992 (in Chinese)

 

 


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